참고영상: 정적분이란 무엇인가? (바로가기)
실수 구간 \([a,b]\)에 정의된 함수 \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\)에 대하여, 정적분
\[ \int_a^b f(x) \, dx \]
는 무엇을 의미할까?
1. 함수 정적분의 정의
연속함수의 정적분을 다음과 같이 정의한다.
정의 1 연속함수 \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R} \)에 대하여, \(x=a\), \(x=b\), \(y=f(x)\), \( y=0\)으로 둘러싸인 그림~1에서와 같은 영역의 부호있는 넓이를 구간 \([a,b]\)에서 함수 \(f\)의 정적분이라고 하고
\[ \int_a^b f(x) \,dx \]
로 나타낸다. 여기서 부호있는 넓이란 \(x\)-축 위 부분의 넓이는 양의 값이고 \(x\)-축 아래 부분의 넓이는 음의 값을 의미한다.
그림~2에서와 같은 조각마다 연속인 함수의 경우에도 정적분을 정의할 수 있다. 만약
\[ a = x_0 < x_1< x_2< \cdots < x_{n-1} < x_n = b \]
인 점 \(x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}\)에서 불연속이고 나머지 점에서 연속인 함수 \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R} \)에 대하여 각 점 \( x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}\)에서 \(f\)의 좌극한과 우극한이 존재하면 구간 \([a,b]\)에서 \(f\)의 정적분은
\[ \int_a^b f(x) \,dx = \int_{x_0}^{x_1} f(x) \,dx + \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,dx + \cdots + \int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \,dx \]
로 정의한다.
2. 함수 정적분이 나오게 된 이유는?
여기서 왜 함수의 정적분
\[ \int_a^b f(x) \,dx \]
를 정의하나를 생각해 보자?
이에 대하여 여러 가지 이유를 생각할 수 있겠지만, 그 중에서 매우 중요한 이유가 있다. 그것은 곡선의 길이를 구하기 위하여 함수의 정적분이 필요했기 때문이다.
공간에 놓인 선분의 길이는 자를 이용하여 쉽게 잴 수 있다.
그렇지만 곡선의 길이를 구하는 것은 쉽지 않다. 곡선의 길이를 이론적으로 구하기 위하여 다음을 생각하자.
그림~3에서 나타난 \(A\)지점과 \(B\)지점을 연결하는 곡선의 길이를 구하는 방법을 생각해 보자.
시간 \(a\)에 \(A\)지점을 출발한 물체가 시간 \(b\)에 \(B\)지점에 도착한다고 가정하자. 여기서 곡선에 방향이 주어진다. 즉, 물체의 속력이 양수이면 \(A\)지점에서 \(B\)지점 방향으로 움직이고 속력이 음수이면 \(B\)지점에서 \(A\)지점 방향으로 움직인다.
물체의 속력이 상수 \(k\)이면, 물체의 이동거리는 \(k \cdot (b-a)\)이다.
이를 속력에 대한 그래프로 살펴보면, 그림~4에서와 같이 \(t=a\), \(t=b\), \(y=0\), \(y=k\)가 둘러싸는 영역의 넓이가 물체의 이동거리 \( k \cdot (b-a) \)이다.
물체의 속력이 시간에 따라서 변하는 경우에는 속력함수를 \(v(t)\)로 놓으면 그림~5에서와 같이
\(t=a\), \(t=b\), \(y=0\), \(y=v(t)\)가 둘러싸는 영역의 넓이가 시간 \(a\)에서 \(b\)까지의 이동거리이다.
3. 리만 합
연속함수 \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\)에 대하여, 정적분 \( \int_a^b f(x) \,dx \)를 구하는 방법을 생각해보자.
닫힌 구간 $[a,b]$를 똑같은 길이로 $n$등분하여 구간의 분점을 차례로
\[ a=x_0< x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \]
로 놓으면 소구간의 길이는 $\Delta x= (b-a)/n$이고
\[ x_i=a+i\cdot\Delta x \qquad (i=0,1,2,\ldots,n)\]
이다.
닫힌 구간 \([a,b]\)를 분해할 때 각 소구간의 크기 \( \Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)는 일정할 필요는 없다.
\(n\)이 한없이 커질 때 각 소구간의 크기 중 가장 큰 값이 \(0\)으로 수렴하면 된다.
그림~6에서와 같이, \(n\)등분한 소구간을 밑변으로 하는 직사각형의 넓이의 합 $S_n$을 구하자.
$i=1, \ldots, n$일 때, $i$번째 직사각형에서 밑변의 길이가 $\Delta x$이고 높이가 $f(x_i)$이므로 \(i\)번째 직사각형의 넓이는 $f(x_i)\Delta x$이다.
이들 $n$개의 직사각형의 넓이 합은
\[ S_n =f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x =\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x \]
이다. 이 합을 리만 합이라고 한다.
\(n\)이 한없이 커질 때 리만 합 \(S_n\)의 극한은 구간 \([a,b]\)에서 함수 \(f\)의 정적분이다. 즉,
\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x = \int_a^b f(x) \, dx \]
이다.
위의 식의 왼쪽 항의 형태로부터 오른쪽 항의 정적분의 형태를 이해할 수 있다.
즉, \( \sum\)를 \(\int\)로 바꾸고 \(\Delta x \)를 \(dx\)로 바꾸어 정적분을 나타낸다.
리만 합의 극한을 함수 정적분의 정의로 놓는 경우도 많다. 이 경우 연속함수보다 일반적인 함수에 대하여 정적분을 정의할 수 있다.
4. 미분적분학의 기본정리
연속함수 \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\)에 대하여, 일반적으로 정적분 \( \int_a^b f(x) \,dx\)를 구함은 쉬운 일이 아니다.
간단한 함수의 경우에 리만 합을 사용하여 구할 수도 있지만 일반적인 함수의 정적분을 리만 합을 이용하여 구하는 것은 대부분 불가능하다.
그러나 \(f\)의 원시함수 \(F\)를 알고 있는 경우에는 정적분 \( \int_a^b f(x) \,dx\)를 아주 쉽게 구할 수 있는 놀라운 방법이 있다.
정리 1 (미분적분학의 기본정리)
연속함수 $f:[a,b] \to \mathbb{R}$에 대하여, 함수 \(F\)가 \(f\)의 원시함수이면
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
이다.
정적분 \( \int_0^b x^2 \,dx\)를 구하기 위하여 \( F(x) = x^3/3 \)로 놓으면 \(F'(x) = x^2 \)이므로,
\[ \int_0^b x^2 \,dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^b = \frac{b^3}{3} \]
이다.
함수 \(F\)가 연속함수 \(f\)의 원시함수이면 미분적분학의 기본정리에 따라서
\[ F(x) = F(a) + \int_a^x f(t) \,dt \]
이다. 즉, 함수 \(F\)의 도함수를 알고 있으면 도함수의 정적분을 이용하여 원래함수 \(F\)를 나타낼 수 있다.